文章｜牛顿的流数术：在莱布尼茨的符号出现之前，微积分长什么样？

我们今天学习微积分时，最熟悉的导数写法大概是 $\frac{dx}{dy}$。如果进一步学习高等数学，还会遇到 $\frac{d^2x}{dy²}$、$\frac{d^3x}{dy³}$ 等各种形式。这套记号来自德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz），经过几个世纪的发展，已经成为现代数学最常见的语言之一。

但在微积分诞生的那个时代，数学家还没有形成今天这套统一的符号体系。牛顿在发展自己的微积分方法时，就使用了一套完全不同的语言。他没有写 $\frac{dx}{dy}$，而是喜欢在字母上面加一个小点，例如 $\dot{x}$。

这个小点究竟是什么意思？牛顿为什么会这样写？而他所谓的“流数术”，又到底是什么？

答案其实比我们想象得简单得多。

牛顿为什么把变量想象成“流动的”？#

牛顿发展流数术的时候，特别关注一个问题：怎样用数学描述运动？

假设一个物体正在运动，那么它的位置会随着时间不断变化。如果用 $x$ 表示这个物体的位置，那么 $x$ 就不是一个固定不变的数，而是会随着时间不断改变。

牛顿把这种不断变化的量称为 fluent，可以译成“流量”或者“流动量”。

这里的“流”并不是说这个量真的像水一样流动，而是一种非常形象的说法：这个量随着时间不断生成、不断变化。

例如，一个物体的位置可以写成 $x$。随着时间的变化，$x$ 不断改变，因此它就是一个 fluent。

那么问题来了：如果 $x$ 正在变化，我们当然还会想知道，它究竟变化得有多快？

这就是牛顿所谓的 fluxion。

什么是“流数”？#

牛顿把一个 fluent 的变化率称为 fluxion，也就是我们今天所说的“流数”。

如果 $x$ 是一个正在变化的量，那么牛顿就在 $x$ 上面加一个小点：

这个 $\dot{x}$ 就表示 $x$ 的流数，也就是 $x$ 随时间变化的速率。

例如，如果 $x$ 表示一个物体的位置，那么 $\dot{x}$ 就表示这个物体运动的速度。

如果 $x$ 本身表示速度，那么 $\dot{x}$ 就表示速度的变化率，也就是加速度。

于是，在牛顿的记号中：

表示一个随时间变化的量，而：

表示这个量变化得有多快。

如果再加一个点：

那么它表示的就是 $\dot{x}$ 的流数，也就是 $x$ 的二阶变化率。

在今天的记号里，我们通常会写成：

以及：

注意，这里的等号只是为了帮助理解这两套记号之间的对应关系。牛顿自己的数学语言并不是后来莱布尼茨记号的简单改写，他确实建立了一套具有自己特点的微积分表达方式。

为什么叫“流数术”？#

既然一个不断变化的量叫作 fluent，而它的变化率叫作 fluxion，那么牛顿用来研究这些量的方法，就被称为 Method of Fluxions，也就是通常所说的“流数法”或“流数术”。

这个名称本身就非常有意思，因为它直接体现了牛顿思考微积分时的一个重要特点：他喜欢从运动和变化的角度来理解数学。

如果一个物体正在运动，那么它的位置是一个不断变化的量；如果我们研究这个位置变化得有多快，就得到了速度；如果继续研究速度变化得有多快，就得到了加速度。

于是：

在牛顿的语言里，这并不是三个毫无关系的符号，而是一条连续的变化链。

一个量在变化，它的变化本身也可以变化，这就是“流数”这个概念最直观的地方。

牛顿的 $\dot{x}$ 和今天的 $\frac{dx}{dt}$ 有什么区别？#

看到这里，或许很容易产生一个疑问：既然 $\dot{x}$ 就相当于 $\frac{dx}{dt}$，那牛顿是不是只是用了一个不同的符号？

从今天的数学结果来看，两者当然存在非常直接的对应关系，但从历史上看，事情没有这么简单。

我们今天学习导数时，通常会把它定义为一个极限。例如：

这套严格的极限定义是经过后来数学家的不断发展才建立起来的，而牛顿最初的流数术有自己的概念体系和推导方式。

牛顿更加倾向于从连续运动出发，把位置、速度等量看成随着时间不断变化的量，然后研究这些量的变化率。

所以，如果我们只是想简单地理解，那么可以把：

理解成今天的：

但如果我们想理解历史上的牛顿，就应该意识到：这两个符号虽然在现代数学中可以对应起来，但它们背后的表达方式并不完全相同。

那莱布尼茨又是怎么写的？#

与此同时，另一位微积分的奠基者莱布尼茨发展出了另一套非常不同的记号。

他使用：

来表示微分，并用：

表示 $x$ 相对于 $y$ 的变化率。

这种记号后来获得了巨大的生命力，最终成为现代微积分最常见的表达方式。

于是，我们今天看到的是：

而牛顿当年的语言则更接近：

如果把两套记号放在一起，就能很直观地看到它们的区别：

两者描述的是密切相关的数学概念，但表达方式其实非常不同。

为什么莱布尼茨的记号流传至今？#

既然牛顿和莱布尼茨都发展出了自己的微积分方法，那么为什么今天的数学课本大多使用莱布尼茨的记号，而不是牛顿的点记号？

一个重要的原因，是莱布尼茨的记号更加适合表达一般的数学关系。

牛顿的点记号与时间有着非常密切的联系。$\dot{x}$ 表示 $x$ 随时间的变化率，这在研究运动时非常方便，因为时间变量已经明确存在于问题之中。但数学并不只研究随时间变化的物理量。如果我们只是想研究两个变量之间的变化关系，那么莱布尼茨的记号就显得更加灵活。

例如：

这个写法直接告诉我们，研究的是 $x$ 相对于 $y$ 的变化率。它并不要求我们首先把某个变量指定为时间，因此可以自然地用于更加一般的数学问题。

这种灵活性在微积分进一步发展之后变得越来越重要。数学家开始研究越来越复杂的函数关系，需要讨论不同变量之间的变化，需要处理多个变量，也需要建立更加一般的数学体系。在这些场景中，莱布尼茨的 $d$ 记号能够比较自然地扩展。

例如，对于一个多变量函数，今天我们可以写：

来表示 $f$ 对 $x$ 的偏导数；如果需要表示二阶导数，还可以写成：

这些记号都延续了莱布尼茨所建立的表达传统。

莱布尼茨的记号还有一个非常重要的优点，就是它能够把微分、导数和积分放在一套彼此关联的语言中。我们今天看到：

很容易就能看出这些符号之间存在某种内在联系。尤其是积分号 $\int$ 本身也是莱布尼茨创造的，它与微分记号一起构成了一套非常完整的微积分语言。

相比之下，牛顿的点记号虽然非常适合表示时间导数，却很难自然地扩展到所有这些数学场景。如果研究的是一个量相对于另一个量的变化，而不是相对于时间的变化，$\dot{x}$ 就没有办法像 $\frac{dx}{dy}$ 那样直接表达变量之间的关系。

因此，随着微积分逐渐从研究运动的工具发展成一门更加一般的数学学科，莱布尼茨的记号表现出了更强的适应能力。

当然，这并不意味着莱布尼茨的记号在一开始就“战胜”了牛顿的记号，也不是说数学家经过某种正式投票决定了应该使用哪一套符号。数学记号的命运通常是一个漫长的历史过程。不同数学家不断采用、修改和传播各种记号，最终那些最方便、最容易推广、最适合新问题的表达方式逐渐留下来。

到了今天，莱布尼茨的记号已经成为现代微积分的主要语言，而牛顿的点记号则更多地保留在物理学中，尤其适合表示对时间的导数。

牛顿的点记号为什么还留在物理学里？#

牛顿的点记号虽然没有成为现代数学微积分的主流写法，但它却在物理学中保留了下来。直到今天，在经典力学和动力学中，我们仍然经常看到 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$。

不过，保留下来的主要是记号，而不是牛顿当年的术语。现代物理学通常把 $\dot{x}$ 称为对时间的导数，或者在具体的力学问题中直接称为速度；$\ddot{x}$ 则对应加速度。换句话说，牛顿当年称为“流数”的东西，在现代物理学中已经换了一套语言，但那个小点却一直留了下来。

一个小点为什么如此方便？#

牛顿的记号有一个非常直观的优点。

如果 $x$ 是位置，那么：

是速度。如果 $\dot{x}$ 是速度，那么：

就是加速度。如果继续增加点，还可以继续表示更高阶的时间导数。这样一来，物理学家只需要看字母上方有几个点，就能够知道自己讨论的是第几阶时间导数。

例如，在经典力学中，一个物体的位置可以写成 $x(t)$，它的速度可以写成：

加速度则写成：

这种写法一直沿用到今天。

所以，当我们在物理学课本里看到一个字母上面的小点时，其实看到的并不只是一个现代数学符号，而是一种延续了几百年的记号传统。

流数术其实和“运动”关系非常密切#

牛顿之所以会发展流数术，与他研究运动有非常密切的关系。

假设一个点沿着一条曲线运动，它的位置可以用两个坐标表示：

随着时间变化，$x$ 和 $y$ 都会发生变化，因此它们各自都有自己的流数：

那么，这个运动点在曲线上的运动方向，就可以通过它们的变化率来描述。

例如，曲线的切线斜率可以写成：

如果换成我们今天更加熟悉的莱布尼茨记号，就是：

这就是为什么牛顿的流数术不仅能够处理速度和加速度，也能够用来研究曲线的切线、面积等微积分问题。

从今天的角度看，我们很容易觉得这些概念本来就是属于微积分的；但在十七世纪，这些问题并没有一个已经成熟的统一方法。牛顿和莱布尼茨所做的重要工作之一，就是把这些原本分散的问题逐渐纳入了一个新的数学体系。

如果回到牛顿的时代，会发现微积分原来可以这样写#

我们今天已经习惯了：

看到它，马上就知道这是导数。

但如果回到十七世纪，牛顿可能会使用：

如果研究二阶导数，他可能写：

如果研究一个量的变化过程，他会把这个量看成 fluent，再把它的变化率看成 fluxion。

于是，现代读者熟悉的“导数”，在牛顿的语言里就拥有了一个非常有画面感的解释：一个量正在流动，而流数描述的正是这种流动的速度。

这也是“流数术”这个名字最有趣的地方，它听起来像一个已经消失在历史中的数学术语，但只要你在物理学里看到 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$，其实就还能看到它留下来的痕迹。

从一个小点认识牛顿的数学#

今天的微积分已经发展成一套非常庞大的数学体系，我们使用的符号也经过几百年的筛选和演化，早已经和牛顿时代有了很大的不同。

因此，了解流数术并不是为了让我们重新学习一遍牛顿的微积分，更不是为了用它取代今天的微积分记号。它真正有趣的地方，是让我们暂时离开今天已经习以为常的数学语言，回到微积分刚刚诞生的时代，看看牛顿当时究竟是怎样表达“变化”这件事情的。

今天我们写：

牛顿则写：

今天我们说“导数”，牛顿使用“流数”这个概念。同样的数学关系，在不同的时代可以拥有完全不同的表达方式，而牛顿当年留下的那个小点，直到今天仍然能够在物理学中被看到。它的含义和名称已经随着现代数学的发展发生了变化，但这个几百年前的记号却一直保留了下来。